Заступнику директора з НВР

Типові помилки учнів початкової ланки при формуванні обчислювальних навичок і методичні прийоми їх попередження та усунення

Під обчислювальною діяльністю учнів, у вузькому значенні, розуміють, сукупність предметних і розумових операцій, що здійснюються при виконанні чотирьох арифметичних дій. Однак таку діяльність не можна відокремлювати від якостей, пов’язаних із загальним розвитком дітей. Адже в широкому значенні вона передбачає активізацію пам’яті, уваги, цілеспрямованості, самостійності. Навчання дітей обчислювальної діяльності спирається на знання елементів теорії та способів дій у їх поєднанні.

 (слайд 2)  Становлення вміння обчислювати має такі етапи:

а) ознайомлення з теоретичною основою;

Теоретичною базою у початковій ланці  є знання про число, нумерацію, властивості натурального ряду чисел та арифметичних дій, залежності між діями, компонентами й результатами арифметичних дій. При цьому арифметичні дії диференціюють на табличні, позатабличні, особливі (з нулем та одиницею).

б) вивчення конкретного обчислювального прийому;

в) формування обчислювальної навички;

г) становлення обчислювального вміння.

 Процес оволодіння обчислювальними навичками дуже складний: спочатку учні повинні засвоїти обчислювальний прийом, а потім внаслідок тренування навчитись швидко виконувати обчислення.

      У початкових класах за чотири роки навчання вивчається досить велика кількість обчислювальних прийомів. (слайд 3) Це:

- перелічування суми, остачі;

- прилічування одиниць другого доданка;

- відлічування одиниці від’ємника;

- додавання і віднімання частинами;

- прийом додавання, що будується на переставній властивості   додавання;

- прийоми порозрядного додавання і віднімання;

- прийоми послідовного додавання і віднімання.

Тому не дивно, що не всі учні одразу засвоюють їх, часто допускають помилки. Учитель повинен бачити в помилкових обчисленнях виразів розумові зусилля учня і в кожному конкретному випадку цікаво, доступно і повчально організувати аналіз допущеної помилки для її попередження.  Зрозуміло, що різна природа помилок при обчисленнях виразів вимагає різної методики роботи над ними.

     Якщо допущена помилка:

-         в застосуванні теоретичного матеріалу, то необхідно працювати над засвоєнням теоретичної основи прийому;

-         у виконанні основної операції, то потрібно з учнем працювати над відтворенням способу виконання цієї операції;

-         у виконанні системи основних операцій, то необхідно працювати над кожною основною операцією, що входить в обчислювальний прийом;

-         якщо учень застосував невідповідний прийом, то треба працювати над засвоєнням умов застосування потрібного прийому.

  (слайд 4)

 Низька ефективність формування обчислювальних умінь і навичок найчастіше пов’язана: з несвоєчасним виявленням причин появи помилок;

1)     з відсутністю, а інколи й невмінням глибокого аналізу помилок учнів;

2)     як показує практика, вчителю не потрібно поспішати виправляти помилкові відповіді самому. Краще спочатку поставити їх на обговорення всього класу і добитись усвідомленого виправлення помилки. Тоді процес виявлення і виправлення помилки самими учнями під керівництвом вчителя можна зробити навчальним.

Розглянемо типові помилки учнів при формуванні обчислювальних навичок і методичні прийоми їх попередження та усунення.

1.     Тип помилки ­­– змішування дій. (слайд 5)

а)  дій додавання і віднімання (7+2=5, 7-3=10);

б) множення і ділення (63=2, 8:2=16);

в) випадків додавання і віднімання 0 і 1 з відповідними випадками множення і ділення (0а = а0=а, а-0=0-а=а, а:1=1:а= а).

Такі помилки повторюються і при виконанні арифметичних дій на наступних етапах формування обчислювальних умінь і навичок (47 +  30  =  17,  72 – 9 = 81, 370 – 150 = 520,

 510 + 320 = 190).

Однією з причин появи помилок першого і другого видів є те, що  учні не засвоїли самих дій або їх знаків, а вчитель зарано пропонує їм виконувати арифметичні дії без застосування лічильного матеріалу. Для попередження усунення цих помилок учням необхідно користуватися лічильним матеріалом для знаходження числових значень виразів. Ще важливо, щоб ці практичні дії супроводжувались словесними міркуваннями і відповідними діями.

Друга причина появи помилок в недостатньому аналізі вказаних виразів. При їх обчислюванні учні більше уваги звертають на числа, ніж на знак арифметичної дії. З перших уроків формування обчислювальних навичок необхідно привчати учнів до пояснення того, яку дію і над якими числами треба виконувати. Наприклад, учень при обчисленні виразу 5+4=9 повинен дати таке пояснення:

 «Потрібно  виконати дію додавання. До числа 5 додають 4, буде 9».

Для попередження типових помилок третього виду необхідно пропонувати учням вправи на співставлення виразів додавання і віднімання 0 і 1 з відповідними випадками множення і ділення. (слайд 6)

Вправа 1. Замість зірочок поставте знаки  більше, менше  або дорівнює  так, щоб одержати правильну рівність: 3+030, 8-08:1.

Вправа 2. Замість зірочок поставте знак «+» або «» так, щоб одержати правильну рівність: 11 = 2,

 11 = 1.

Вправа 3. Замість зірочок поставте таке число, щоб одержати правильну рівність: 0 +  = 8, 11 -  =0,

1   = 24,   : 5 = 0,  : 1 = 49, 81 :  = 81.

2.     Тип помилки – змішування цифр. (слайд 7)

Неправильно знайдене учнем числове значення виразу часто пов’язане із змішуванням цифр. При обчислюванні виразу учень записує 10 – 4 = 9, проте усно він правильно називає результат.

Для усунення таких помилок можна запропонувати учню обвести певну кількість клітинок і поруч записати цифру, що відповідає даному числу, або знайти в своїй лічильний коробці вказану цифру, або написати рядок певної цифри.

3.     Тип помилки – несформованість прийому прилічування, відлічування. (слайд 8)

При обчисленні виразів ( в межах десятка), що є сумами або різницями, учні, застосовують прийом прилічування або відлічування по одиниці, вказують  результати відповідно на 1 менше або на 1 більше

(4 + 3 = 6, 8 – 2 = 7). Додаючи до числа 4 число 3 учень повинен назвати три числа, наступні за числом 4. Це 5,6,7. Але він для вказаного виразу першим числом називає  число, яке є першим доданком (4), а потім два наступні за числом чотири числа 5,6, вважаючи, що він додав число 3. Аналогічно і у виразі 8 – 2 = 7.

Для попередження цих помилок учневі необхідно запропонувати назвати проміжні результати в процесі застосування прийому прилічування по одиниці одиниць другого доданку або відлічування по одиниці одиниць від’ємника. «До числа 4 додати 1, буде 5. До числа 5 додати 1, буде 6. До числа 6 додати 1, буде 7».

«Від числа 8 відняти 1, буде 7. Від числа 7 відняти 1, буде 6».

4.     Тип помилки. (слайд 9)

Часто учні, обчислюючи числові значення виразів виду 5 + 4 і 9 - 3 називають результати відповідно  5 і 9, тобто замість правильного результату називають один з компонентів арифметичної дії.

 Щоб не допустити таких помилок, доцільно навчити дітей користуватися прийомом прикидки: результат виразу 5 + 4 повинен бути більший від кожного з доданків, а результат виразу 9 - 3 повинен бути меншим, ніж зменшуване 9.

5.     Тип помилки – нераціональність прийомів обчислення. (слайд 10)

 Учні одержують неправильний результат виразу внаслідок використання нераціональних прийомів обчислювань. Так, виконуючи додавання виду 2 + 8 треба використати прийом, що ґрунтується на переставній властивості додавання. Учень, який застосував прийом додавання частинами або прийом прилічування по 1 або по 2, забуває, скільки одиниць він уже додав  і скільки йому ще залишилося додати.

Таку помилку можна попередити, застосувавши прийом порівняння нераціональних і раціональних прийомів обчислень.

6. Тип помилки – виконання дій не по розрядах. (слайд 11)

 Виконуючи додавання  або віднімання  в межах 100, учні додають одиниці одного розряду до одиниць вищого розряду або до одиниць меншого розряду одиниці іншого розряду (34 + 5 = 84, 87 – 30 = 84,  2 + 76 = 96, 78 – 5 = 28,

 20 + 36 = 38, 43 + 30 = 46).

7. Тип помилок - пропуск операцій або виконанням зайвих операцій. (слайд12)

28 + 35 = 20 + 8 + 30 + 5 = 20 + 30 + 8 + 5 = 50 + 5 = 55;

28 + 35 = 20 + 8 + 30 + 5 = 20 + 30 + 8 + 5 = 50 + 8 =  58;                                           

28 + 35 = 20 + 8 + 30 + 5 = 20 + 30 + 8 + 5 = 20 + 13 = 33;

28 + 35 = 20 + 8 + 30 + 5 = 20 + 30 + 8 + 5 = 30 + 13 = 43;

78 – 25 = 58,     70 – 20 = 50,      50 + 8 = 58;

78 – 25 = 45,     70 – 20 = 50,      50 – 5 = 45;

78 – 25 = 55,     70  - 20 = 50,      50 + 5 = 55;

78 – 25 = 37,     70 – 20 = 50,      8 + 5 = 13, 50 – 13 = 37.

Для попередження 6 і 7 типів помилок і їх усунення необхідно сформувати  в учнів прийоми контролю і самоконтролю.

Вправа. 28+32=20+8+30+2+20+30+8+2=50+8=58

«Перевірю розв’язання прикладу 28+32. Сума цих чисел рівна 58. Якщо із суми 58 відніму другий доданок 32, то одержу число 26. У прикладі 28+32 першим доданком є число 28. Значить, приклад розв’язано неправильно».  Тобто, використовується прийом, який ґрунтується на залежності між компонентами і результатом дій.

8. При обчисленні значень виду а  в помилки зумовлені: (слайд13)

а) нерозумінням смислу компонентів множення

 6  9 = 51 (учень число 6 взяв доданком 10 разів і одержаного результату відняв 9, а не 6);

б) несформованістю в учнів навичок додавання в межах 100 (7  4 = 27);

в) невміння учнів визначити кількість доданків.

Наприклад, учень при обчислені виразу 9  7 називає число 72, замість 63, оскільки він узяв число 9 доданком 8 разів, а не 7.

Попередити ці помилки можна на основі виконання достатньої кількості різних тренувальних вправ на заміну суми однакових доданків добутком і добутку сумою однакових доданків.

9. Позатабличне множення і ділення. (слайд 14)

24  3, 4  13, 48 : 2, 72 : 6, 50 : 2, 64 : 16 - складні розумові дії. Так, 72 : 6 = (60 + 12) : 6 = 60 : 6 + 12 : 6 =

= 10 + 2 = 12.

Вимагається:

а) вміння подати двоцифрове число у вигляді суми зручних доданків;

б) знання властивості ділення  суми на число;

в) знання табличних випадків ділення;

г) обчислювальна навичка виду 60 : 6;

д) обчислювальна навичка виду 10 + 2.

Закономірно, що цей результат ділення 72 : 6 залежить від результату часткових основних операцій. Якщо останні не будуть доведені до  автоматизму, то прийом ділення двоцифрового числа на одноцифрове не може бути застосований учнями.

Інші  види помилок.

(слайд15)

1.     Виконуючи множення виду 24  3, 4  13 учень формально переносить раніше відомий йому прийом додавання видів 24 + 3, 3 + 24 до тих виразів, до яких він не підходить.

 24 + 3 = (20 + 4) + 3 = 20 + (4 + 3) = 20 + 7 = 27,

24  3 = (20 + 4)  3 = 20  3 + 4 = 60 + 4 = 64,

 24  3 = (20 + 4)  3 = 20 + 4  3 = 20 + 12 = 32

2.     Ділення виду 64 : 2.

64 : 2 = (60 + 4) : 2 = 60 : 2 + 4 = 30 + 4 = 34

64 : 2 = (60 + 4) : 2 = 60 + 4 : 2 = 60 + 2 = 62.

Цих помилок можна уникнути, застосувавши прийом зіставлення і протиставлення. При знаходженні числових значень виразів 24 + 3 і 24  3 учні під керівництвом вчителя спочатку визначають спільне в цих виразів (однакові числа) і відмінне (перший вираз – сума, другий – добуток).

Знаходять числові значення виразів і застосовують прийоми зіставлення в способах обчислення (в першому і другому виразах число 24 подають у вигляді суми розрядних доданків) і протиставлення (24 + 3 число додається до одного з доданків, а в другому випадку кожний з доданків множиться на число 3).

(слайд 16)

3. Часто учень, шукаючи числове значення виразів виду 36 : 3, оперує десятками як одиницями

 36 : 3 = 3 : 3 + 6 : 3 = 1 + 2 = 3

Причина появи цієї помилки – у відсутньому поясненні, як знайти значення виразу допоміжної (неарифматичної) операції (читання виразу) – властивість ділення суми на число. Не усвідомлюється зв'язок теорії з практикою, що негативно впливає на усвідомлення обчислювальних умінь і навичок.

Отже, недоліки в засвоєнні необхідних допоміжних операцій і є тією причиною, що учні допускають помилки в їх комплексному використанні.

(слайд 17)

4. Помилка пов’язана з об’єднанням двох прийомів ділення двоцифрового числа на одноцифрове.

64 : 4 = 36, 60 : 4 = 10 (ост.20), 20 + 10 = 30,

20 + 4 = 24,  24 : 4 = 6, 30 + 6 = 36.

5. При діленні двоцифрового числа на двоцифрове є неправильне перенесення учнями властивості ділення суми на число: десятки діленого діти ділять на десятки дільника, а одиниці діленого на одиниці дільника. Одержані частки додають: 68 : 34 = 3, 60 : 30 = 2, 8 : 4 = 2, 2 + 2 = 4.

6. При діленні двоцифрового числа на двоцифрове, учні оперують цифрами діленого і дільника, не враховуючи відмінностей між поняттями “цифра” і “розряд”.

            96 : 16 =91, 9 : 1 = 9, 6 : 6 = 1.

(слайд18)

7. При діленні двоцифрового числа на двоцифрове учні виділяють у діленому зручні доданки, і ділять їх на десятки і одиниці дільника. Перший результат записують на місці  десятків частки, другий – на місці одиниць частки.

 72 : 24 = 33, 72 = 60 + 12, 60 : 20 = 3, 12 : 4 = 3.

8. При діленні круглих десятків на двоцифрове число ділене ділять на десятки дільника, а одиниці дільника записують в остачі або залишають без змін.

80 : 16 = 8 (ост.6),  80 : 16 = 8, 80 : 10 =  8.

 9. Є помилки і при діленні двоцифрового числа на     одноцифрове у випадку, коли треба подати сумою не розрядних, а зручних доданків.

Учні в цьому випадку, знаючи властивість ділення повинні аналізувати вираз. Внаслідок цього можна  встановити, коли треба подати ділене у вигляді суми розрядних доданків, а коли сумою зручних доданків.

 (слайд 19)

Запобігти появі подібних помилок і усунути їх допоможе система таких прийомів:

-         порівняння обчислювальних прийомів з виділенням у них суттєвих відмінностей;

-         обговорення з учнями неправильно знайдених числових значень виразів;

-         аналіз числових виразів для попередження змішування арифметичних дій;

-         перевірка знайденого числового значення виразу способом виконання оберненої арифметичної дії.

(слайд 20)

 Отже, для вдосконалення обчислювальних навичок необхідно передусім забезпечити органічний зв’язок теоретичної і практичної частин програми, включати більше різних тренувальних вправ, зміцнювати зв’язок усних і письмових обчислень, що сприятиме успішному засвоєнню учнями початкової ланки  математичних обчислень.